3. 黎曼几何中的基本公式和恒等式

Fri Jul 12 2024

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曲率的微分同胚不变性在黎曼几何和Ricci流中非常重要。正如我们将在本节中看到的，Bianchi恒等式反映了这种微分同胚不变性。当讨论微分同胚不变性或规范变换（在物理学语言中）时，Lie导数会进入讨论。我们将回顾一些关于Lie导数和对易协变导数的基本公式。

3.1 Bianchi恒等式#

除了(1.11)之外，黎曼曲率张量还满足其他对称性。第一和第二Bianchi恒等式为

\begin{align*} R_{i j k \ell} + R_{j k i \ell} + R_{k i j \ell} & = 0 \tag{1.17}\\ \nabla_{i} R_{j k \ell m} + \nabla_{j} R_{k i \ell m} + \nabla_{k} R_{i j \ell m} & = 0 \tag{1.18} \end{align*}

练习1.17. 证明Bianchi恒等式。提示：先计算不变形式，然后将答案转换为局部坐标表示。

(第二次)收缩的第二Bianchi恒等式为

\begin{equation*} 2 g^{i j} \nabla_{i} R_{j k} = \nabla_{k} R \tag{1.19} \end{equation*}

这等价于爱因斯坦张量 $\mathrm{Rc} - \frac{1}{2} \mathrm{Rg}$ 是无散度的：

\operatorname{div}\left(\operatorname{Rc} - \frac{1}{2} R g\right) = 0

（参见下文公式(1.35)以了解散度的定义）。公式(1.19)由将第二Bianchi恒等式(1.18)乘以 $g^{i m} g^{j \ell}$ 得出。

练习1.18 (一次收缩的第二Bianchi恒等式)。 通过将(1.18)乘以 $g^{i m}$ 并求和（即进行一次收缩），证明：

\begin{equation*} g^{i m} \nabla_{i} R_{j k \ell m} = \nabla_{j} R_{k \ell} - \nabla_{k} R_{j \ell} \tag{1.20} \end{equation*}

也就是说，Rm的散度是将Rc视为在切丛中取值的1-形式的外协变导数 ${ }^{5}$ 。正如我们将在下一小节中看到的，Bianchi恒等式与曲率的微分同胚不变性有关。

练习1.19 (Schur定理)

使用公式(1.19)，证明如果 $g$ 是爱因斯坦度量（即 $R_{i j} = \frac{1}{n} R g_{i j}$ ）且 $n \geq 3$ ，那么 $R$ 是一个常数。注意，条件 $R_{i j} = \frac{1}{n} R g_{i j}$ 表明Ricci曲率仅依赖于点而不依赖于该点的方向。此练习的结果表明在这种情况下，如果 $n \geq 3$ ，那么Ricci曲率也不依赖于点。
使用第二Bianchi恒等式(1.18)，证明如果 $n \geq 3$ 且每个点处的截面曲率与2-平面无关，即

R_{i j k \ell} = \frac{R}{n(n-1)}\left(g_{i \ell} g_{j k} - g_{i k} g_{j \ell}\right)

那么 $R$ 是一个常数。

3.2. Lie导数#

回顾一下，如果一个向量场 $X$ 是完备的，那么存在由 $X$ 生成的微分同胚的1参数群 $\{\varphi_{t}\}_{t \in \mathbb{R}}$ 。如果 $M^n$ 是闭的，那么任何光滑向量场都是完备的。设 $\alpha$ 是类型为 $(r, s)$ 的张量， $X$ 是一个完备向量场，生成一个全局的1参数微分同胚群 $\varphi_{t}$ （以下定义可以推广到 $X$ 不是完备的情形，此时 $X$ 只定义局部的1参数微分同胚群）。 $\alpha$ 关于 $X$ 的Lie导数定义为

\begin{equation*} \mathcal{L}_{X} \alpha \doteqdot \lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left(\alpha - \left(\varphi_{t}\right)_{*} \alpha\right) \tag{1.21} \end{equation*}

其中 $\left(\varphi_{t}\right)_{*}: T_{p} M^{n} \rightarrow T_{\varphi_{t}(p)} M^{n}$ 是 $\varphi_{t}$ 的微分。它作用于余切丛的方式为 $\left(\varphi_{t}\right)_{*} = \left(\varphi_{t}^{-1}\right)^{*}: T_{p}^{*} M^{n} \rightarrow T_{\varphi_{t}(p)}^{*} M^{n}$ 。然后我们可以自然地将 $\left(\varphi_{t}\right)_{*}$ 的作用扩展到 $M^{n}$ 的张量丛，这在公式(1.21)中得以应用。

Lie导数测量了由向量场生成的微分同胚1参数群相对于张量的微分同胚不变性的微小偏差。它具有以下性质：

如果 $f$ 是一个函数，那么 $\mathcal{L}_{X} f = X f$ 。
如果 $Y$ 是一个向量场，那么 $\mathcal{L}_{X} Y = [X, Y]$ 。
如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 是张量，那么 $\mathcal{L}_{X}(\alpha \otimes \beta) = \left(\mathcal{L}_{X} \alpha\right) \otimes \beta + \alpha \otimes \left(\mathcal{L}_{X} \beta\right)$ 。
如果 $\alpha$ 是一个 $(r, 0)$ -张量，那么对于任意向量场 $X, Y_{1}, \ldots, Y_{r}$ ，有 $\left(\mathcal{L}_{X} \alpha\right)\left(Y_{1}, \ldots, Y_{r}\right) = X\left(\alpha\left(Y_{1}, \ldots, Y_{r}\right)\right)$ $\begin{aligned} & -\sum_{i=1}^{n} \alpha\left(Y_{1}, \ldots, Y_{i-1},\left[X, Y_{i}\right], Y_{i+1}, \ldots, Y_{r}\right) \\ & = \left(\nabla_{X} \alpha\right)\left(Y_{1}, \ldots, Y_{r}\right) \\ & +\sum_{i=1}^{n} \alpha\left(Y_{1}, \ldots, Y_{i-1}, \nabla_{Y_{i}} X, Y_{i+1}, \ldots, Y_{r}\right) \end{aligned}\tag{1.22}$

例如，如果 $\alpha$ 是一个2-张量，那么

\left(\mathcal{L}_{X} \alpha\right)_{i j} = \nabla_{X} \alpha_{i j} + g^{k \ell}\left(\nabla_{i} X_{k} \alpha_{\ell j} + \nabla_{j} X_{k} \alpha_{i \ell}\right)

**练习 1.20 **给定一个微分同胚 $\varphi: M^{n} \rightarrow M^{n}$ ，我们有 $\varphi^{*} : T_{\varphi(p)}^{*} M^{n} \rightarrow T_{p}^{*} M^{n}$ 。拉回作用于切丛上为 $\varphi^{*} \doteqdot \left(\varphi^{-1}\right)_{*}: T_{\varphi(p)} M^{n} \rightarrow T_{p} M^{n}$ 。这些作用可以扩展到 $M^{n}$ 的张量丛。证明定义 (1.21) 等价于

\mathcal{L}_{X} \alpha = \lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left(\varphi_{t}^{*} \alpha - \alpha\right) = \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \varphi_{t}^{*} \alpha

回顾一下，一个函数 $f$ 关于度量 $g$ 的梯度定义为

g\left(\operatorname{grad}_{g} f, X\right) \doteqdot X f = d f(X)

换句话说， $\operatorname{grad}_{g} f$ 是 1-形式 $d f$ 的度量对偶。在本书中，我们还将使用符号 $\nabla f$ 来表示 $d f$ 和 $\operatorname{grad}_{g} f$ 。 练习 1.21（度量的 Lie 导数） 使用 (1.22)，证明度量的 Lie 导数由下式给出

\begin{equation*} \left(\mathcal{L}_{X} g\right)\left(Y_{1}, Y_{2}\right) = g\left(\nabla_{Y_{1}} X, Y_{2}\right) + g\left(Y_{1}, \nabla_{Y_{2}} X\right) \tag{1.23} \end{equation*}

并且在局部坐标中这意味着

\left(\mathcal{L}_{X} g\right)_{i j} = \nabla_{i} X_{j} + \nabla_{j} X_{i}

特别地，如果 $f$ 是一个函数，那么

\begin{equation*} \left(\mathcal{L}_{\text {grad }_{g} f} g\right)_{i j} = 2 \nabla_{i} \nabla_{j} f \tag{1.24} \end{equation*}

注释 1.22 公式 (1.24) 在考虑梯度 Ricci 流形时非常有用。

**练习 1.23 **证明对于任意微分同胚 $\varphi: M^{n} \rightarrow M^{n}$ ，张量 $\boldsymbol{\alpha}$ 和向量场 $X$ ，有

\begin{equation*} \varphi^{*}\left(\mathcal{L}_{X} \alpha\right) = \mathcal{L}_{\varphi^{*} X}\left(\varphi^{*} \alpha\right) \tag{1.25} \end{equation*}

并且如果 $f: M^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ ，那么

\begin{equation*} \varphi^{*}\left(\operatorname{grad}_{g} f\right) = \operatorname{grad}_{\varphi^{*} g}(f \circ \varphi) \tag{1.26} \end{equation*}

**注释 1.24 **如果 $\varphi(t): M^{n} \rightarrow M^{n}$ 是 1 参数微分同胚族，且 $\alpha$ 是一个张量，那么

\begin{equation*} \frac{\partial}{\partial t}\left(\varphi(t)^{*} \alpha\right) = \mathcal{L}_{X(t)} \varphi(t)^{*} \alpha \tag{1.27} \end{equation*}

其中

\left. X\left(t_{0}\right) \doteqdot \frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=t_{0}}\left(\varphi\left(t_{0}\right)^{-1} \circ \varphi(t)\right) = \left.\left(\varphi\left(t_{0}\right)^{-1}\right)_{*} \frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=t_{0}} \varphi(t)

这里我们没有假设 $\varphi(t)$ 是一个群。

定义 1.25 如果一个微分同胚 $\psi:\left(M^{n}, g\right) \rightarrow \left(N^{n}, h\right)$ 是一个等距映射，那么有 $\psi^{*} h = g$ 。如果我们不要求 $\psi$ 是一个微分同胚，那么 $\psi$ 被称为局部等距映射。如果存在一个等距映射将两个黎曼流形联系起来，则称它们是等距的。在几何上，这样的度量是不可区分的。我们称 $\left(M^{n}, g\right)$ 上的一个向量场 $X$ 是 Killing 向量场，如果 $\mathcal{L}_{X} g = 0$ 。如果 $X$ 是一个完备的 Killing 向量场，那么它生成的 1 参数微分同胚群 $\varphi_{t}$ 是 $\left(M^{n}, g\right)$ 的 1 参数等距映射群。

练习 1.26（从曲率的微分同胚不变性中推导第二 Bianchi 恒等式）

证明 Jacobi 恒等式

[X,[Y, Z]] + [Y,[Z, X]] + [Z,[X, Y]] = 0

对于向量场 $X, Y, Z$ ，证明方法如下。令 $\varphi_{t}: M^{n} \rightarrow M^{n}$ 是由 $X$ 生成的 1 参数微分同胚群，并对 $t = 0$ 时的“微分同胚下 Lie 括号的不变性”方程取时间导数：

\varphi_{t}^{*}[Y, Z] = \left[\varphi_{t}^{*} Y, \varphi_{t}^{*} Z\right]

（Hilbert, Kazdan [334]）类似地，通过考虑标量曲率和黎曼曲率张量的微分同胚不变性，证明（收缩的）第二 Bianchi 恒等式。 (a) 更准确地说，为了获得收缩的第二 Bianchi 恒等式 (1.19)，将 (2.4) 应用于以下方程：

\begin{equation*} D R_{g}\left(\mathcal{L}_{X} g\right) = \mathcal{L}_{X} R = \nabla_{i} R X^{i} \tag{1.28} \end{equation*}

其中 $D R_{g}\left(\mathcal{L}_{X} g\right)$ 表示 $R_{g}$ 在方向 $\mathcal{L}_{X} g$ 上的线性化。 (b) 为了证明第二 Bianchi 恒等式 (1.18)，将 (2.66) 应用于

\begin{equation*} D \operatorname{Rm}_{g}\left(\mathcal{L}_{X} g\right) = \mathcal{L}_{X} \mathrm{Rm} \tag{1.29} \end{equation*}

3.3. 协变导数的对易性#

由于作用于向量场上的协变导数的对易性定义了黎曼曲率张量，因此作用于张量上的协变导数的对易性可以用曲率来表达。我们将特别关注标准的对易公式（Ricci 恒等式）：

\begin{equation*} \left(\nabla_{i} \nabla_{j}-\nabla_{j} \nabla_{i}\right) \alpha_{k_{1} \cdots k_{r}}=-\sum_{\ell=1}^{r} R_{i j k_{\ell}}^{m} \alpha_{k_{1} \cdots k_{\ell-1} m k_{\ell+1} \cdots k_{r}} \tag{1.30} \end{equation*}

特别地，如果 $\alpha$ 是一个 1-形式，那么

\left(\nabla_{i} \nabla_{j}-\nabla_{j} \nabla_{i}\right) \alpha_{k}=-R_{i j k}^{\ell} \alpha_{\ell}

如果 $\beta$ 是一个 $(2,0)$ -张量，那么

\begin{equation*} \nabla_{i} \nabla_{j} \beta_{k \ell}-\nabla_{j} \nabla_{i} \beta_{k \ell}=-R_{i j k}^{p} \beta_{p \ell}-R_{i j \ell}^{p} \beta_{k p} \tag{1.31} \end{equation*}

在本书的大部分内容中，我们将发现使用局部坐标计算比使用正交（运动）标架更为方便。原因是，在 Ricci 流的作用下，度量在演化，我们可以选择一个固定的（时间不变的）坐标系，而为了保持相对于 $g(t)$ 的正交性，正交标架必须演化。一个例外是 Uhlenbeck 的技巧，我们将在引理 2.58 之后讨论。

**练习 1.27 **直接利用 Killing 向量场方程证明 Killing 向量场的向量空间是一个 Lie 代数。

**注释 1.28 **Bianchi 恒等式和协变微分的对易公式常用于 Ricci 流下几何量演化方程的计算中。

练习 1.29

\begin{align*} \nabla_{i} \nabla_{j} \alpha_{k_{1} \cdots k_{r}}^{\ell_{1} \cdots \ell_{s}}-\nabla_{j} \nabla_{i} \alpha_{k_{1} \cdots k_{r}}^{\ell_{1} \cdots \ell_{s}} & =-\sum_{h=1}^{r} \sum_{p=1}^{n} R_{i j k_{h}}^{p} \alpha_{k_{1} \cdots k_{h-1}}^{\ell_{1} \cdots \ell_{s}} p k_{h+1} \cdots k_{r} \\ & +\sum_{h=1}^{s} \sum_{p=1}^{n} R_{i j p}^{\ell_{h}} \alpha_{k_{1} \cdots k_{r}}^{\ell_{1} \cdots \ell_{h-1}} \ell_{h+1} \cdots \ell_{s} \tag{1.32} \end{align*}

3. 黎曼几何中的基本公式和恒等式

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