5. 积分与Hodge理论
5.1. 分部积分。#
除了逐点公式,如(1.45),我们还会发现积分恒等式很有用。一个基本工具是分部积分。回顾一下斯托克斯定理:
定理 1.46 如果 α 是一个在紧致定向流形 Mn 上的 (n−1)-形式,且其边界为 ∂M(可能为空),那么
∫Mdα=∫∂Mα设 (Mn,g) 是一个带有边界 ∂M 的定向黎曼流形。M 上的定向定义了 ∂M 上的一个定向。在边界上,局部选择一个正向定向的框架场 {ei}i=1n 使得 e1=ν 是单位外法线。则框架场 {ei}i=2n 在 ∂M 上是正向定向的。设 {ωi}i=1n 表示对偶于 {ei}i=1n 的正交规范共框架场。M 的体积形式为
dμ=ω1∧⋯∧ωn而 ∂M 的体积形式为
dσ≑ω2∧⋯∧ωn从 (1.36) 中不难看出
dσ=ιν(dμ)确实,
ιν(dμ)(e2,…,en)=n(dμ)(e1,e2,…,en)=n!n=(n−1)!1散度定理说:
定理 1.47 设 (Mn,g) 是一个紧致定向黎曼流形。如果 X 是一个向量场,则
∫Mndiv(X)dμ=∫∂Mn⟨X,ν⟩dσ(1.52)其中 div(X)=∇iXi。
证明。定义 (n−1)-形式 α 为
α≑ιX(dμ)利用 d2=0 和 (1.37),我们计算得
dα=d∘ιX(dμ)=(d∘ιX+ιX∘d)(dμ)=LX(dμ)=div(X)dμ为得到最后一个等式,我们可以在正交规范框架 e1,…,en 下进行计算:
LX(dμ)(e1,…,en)=i=1∑ndμ(e1,…,∇eiX,…,en)=div(X)dμ(e1,…,en)现在,斯托克斯定理意味着
∫Mdiv(X)dμ=∫Mdα=∫∂Mα=∫∂MιX(dμ)=∫∂M⟨X,ν⟩dσ.为了验证最后一个等式,我们用到了
(ιX(dμ))(e2,…,en)=n(dμ)(X,e2,…,en)=n⟨X,ν⟩(dμ)(e1,e2,…,en)=(n−1)!1⟨X,ν⟩因此,定理得证。
练习 1.48(分部积分)。推导出散度定理的以下结论。 (1) 在闭合流形上,∫MnΔudμ=0。 (2) (格林)在紧致流形上,
∫Mn(uΔv−vΔu)dμ=∫∂Mn(u∂ν∂v−v∂ν∂u)dσ特别地,在闭合流形上
∫MnuΔvdμ=∫MnvΔudμ(3) 证明如果 f 是一个函数且 X 是一个 1-形式,则
∫Mnfdiv(X)dμ=−∫Mn⟨∇f,X⟩dμ+∫∂Mnf⟨X,ν⟩dσ.推论 1.49 设 (Mn,g) 是一个闭合黎曼流形。如果 α 是一个 (r,s)-张量,且 β 是一个 (r−1,s)-张量,则
∫M⟨α,∇β⟩dV=−∫M⟨div(α),β⟩dV证明。设 Xj=αji2⋯irk1⋯ksβi2⋯irk1⋯ks。我们计算得
divX=⟨div(α),β⟩+⟨α,∇β⟩因此结果从散度定理中得出。分部积分在推导积分Bochner公式中有用。以下的基本代数事实在推导Bochner公式类型的逐点和积分不等式中是有用的。
练习 1.50(2-张量的范数主导迹)。通过选择坐标,使得某点的 gij=δij,证明对于任何 2-张量 aij
∣aij∣g2≥n1(gijaij)2更一般地,对于一个 p-张量(p≥2)
ak1⋯kp2≥n1gijaijk3⋯kp2以下是这样一个应用的一个很好的例子。
练习 1.51 证明在闭合流形上(使用练习 1.37)
∫Mn∣∇∇f∣2dμ+∫MnRc(∇f,∇f)dμ=∫Mn(Δf)2dμ(1.53)由于 ∣∇∇f∣2≥n1(Δf)2,这意味着
∫MnRc(∇f,∇f)dμ≤nn−1∫Mn(Δf)2dμ(1.54)有了这个不等式,我们可以证明以下经典结果。
练习 1.52(Lichnerowicz)。假设 f 是拉普拉斯算子的特征函数,特征值为 λ0:
Δf+λf=0利用 (1.54) 证明如果 Rc≥(n−1)K,其中 K0 是常数,则
λ≥nK(1.55)有关特征函数和特征值的更多信息,请参见附录 A 第 5 节。
5.2. De Rham定理与Hodge分解定理。#
现在我们回顾 de Rham 定理和 Hodge 分解定理。设 Mn 是一个闭合流形。外导数 d 形成一个复
0→Ω0(Mn)dΩ1(Mn)d⋯dΩn−1(Mn)dΩn(Mn)→0,其中 d2≑d∘d=0。因此 image(d)⊂ker(d),我们可以定义第 p 个 de Rham 上同调群:
HdeRp(M)≑image(d∣Ωp−1(M))ker(d∣Ωp(M))我们有:
定理 1.53(De Rham)。如果 Mn 是一个闭合流形,则第 p 个 de Rham 上同调群同构于第 p 个奇异实上同调群:
HdeRp(M)≅Hp(M;R)与 de Rham 上同调群紧密相关的是调和形式。一个微分形式 α 被称为调和的,如果
Δdα=0由于
∫M⟨Δdα,α⟩dμ=−∫M(∣dα∣2+∣δα∣2)dμ因此 α 是调和的当且仅当
dα=0 和 δα=0调和 p-形式的空间记作
Hp={α∈Ωp(M):Δdα=0}.Hodge 定理的本质是理解在给定 γ∈Ωp(M) 的情况下,方程
Δdα=γ是否有解 α∈Ωp(M)。如果 β∈Hp 是一个调和的 p-形式,则
(γ,β)=(Δdα,β)=(α,Δdβ)=0因此,解 Δdα=γ 的必要条件是对所有 β∈Hp 有 (γ,β)=0。这个条件也是充分的。特别地,我们有以下称为 Hodge 分解定理的结果。
定理 1.54(Hodge)。设 (Mn,g) 是一个闭合黎曼流形。给定 γ∈Ωp(M),方程
Δdα=γ有解 α∈Ωp(M) 当且仅当
(γ,β)=0对所有 β∈Hp。因此,我们有 p-形式空间的以下分解:
Ωp(M)=Δd(Ωp(M))⊕Hp=dδ(Ωp(M))⊕δd(Ωp(M))⊕Hp此外,空间 Hp 是有限维的。
关于 de Rham 上同调群,我们有以下结论。
推论 1.55 在每个 de Rham 上同调类中,有一个唯一的调和形式表示该同调类。特别地,第 p 个 de Rham 上同调群同构于调和 p-形式的空间 Hp。
Hodge 定理的另一个有用结果是:
推论 1.56 如果 (Mn,g) 是一个闭合黎曼流形,并且 f 是一个光滑函数,满足 ∫Mfdμ=0,那么存在一个光滑函数 u:M→R 使得 Δu=f。函数 u 唯一确定,除了一个加法常数。
证明。由于 Mn 是闭合的,H0 是常数函数的子空间。它的正交补是满足 ∫Mfdμ=0 的函数的子空间。因此,根据 Hodge 定理,如果 ∫Mfdμ=0,则存在 u 使得 Δu=f。唯一性也从方程 Δu=0 只有常数解这一事实中得到。
Hodge 拉普拉斯算子的一个重要属性是它与星号算子交换:
Δd∗=∗Δd因此,如果 α∈Hp 是一个调和的 p-形式,则 ∗α 是一个调和的 (n−p)-形式,即
∗:Hp→Hn−p是一个同构。因此,推论 1.55 意味着
HdeRp(M)≅HdeRn−p(M)这被称为 de Rham 上同调的 Poincaré 对偶性定理(而 de Rham 定理也意味着这对于奇异实上同调是成立的)。