5. 积分与Hodge理论

5. 积分与Hodge理论

Fri Jul 12 2024
9 label.readTime
1892 label.wordCount

5.1. 分部积分。#

除了逐点公式,如(1.45),我们还会发现积分恒等式很有用。一个基本工具是分部积分。回顾一下斯托克斯定理:

定理 1.46 如果 α\alpha 是一个在紧致定向流形 MnM^{n} 上的 (n1)(n-1)-形式,且其边界为 M\partial M(可能为空),那么

Mdα=Mα\int_{M} d \alpha = \int_{\partial M} \alpha

(Mn,g)\left(M^{n}, g\right) 是一个带有边界 M\partial M 的定向黎曼流形。MM 上的定向定义了 M\partial M 上的一个定向。在边界上,局部选择一个正向定向的框架场 {ei}i=1n\left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{n} 使得 e1=νe_{1}=\nu 是单位外法线。则框架场 {ei}i=2n\left\{e_{i}\right\}_{i=2}^{n}M\partial M 上是正向定向的。设 {ωi}i=1n\left\{\omega^{i}\right\}_{i=1}^{n} 表示对偶于 {ei}i=1n\left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{n} 的正交规范共框架场。MM 的体积形式为

dμ=ω1ωnd \mu = \omega^{1} \wedge \cdots \wedge \omega^{n}

M\partial M 的体积形式为

dσω2ωnd \sigma \doteqdot \omega^{2} \wedge \cdots \wedge \omega^{n}

从 (1.36) 中不难看出

dσ=ιν(dμ)d \sigma = \iota_{\nu}(d \mu)

确实,

ιν(dμ)(e2,,en)=n(dμ)(e1,e2,,en)=nn!=1(n1)!\iota_{\nu}(d \mu)\left(e_{2}, \ldots, e_{n}\right) = n(d \mu)\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right) = \frac{n}{n!} = \frac{1}{(n-1)!}

散度定理说:

定理 1.47(Mn,g)\left(M^{n}, g\right) 是一个紧致定向黎曼流形。如果 XX 是一个向量场,则

Mndiv(X)dμ=MnX,νdσ\begin{equation*} \int_{M^{n}} \operatorname{div}(X) d \mu = \int_{\partial M^{n}} \langle X, \nu \rangle d \sigma \tag{1.52} \end{equation*}

其中 div(X)=iXi\operatorname{div}(X) = \nabla_{i} X^{i}

证明。定义 (n1)(n-1)-形式 α\alpha

αιX(dμ)\alpha \doteqdot \iota_{X}(d \mu)

利用 d2=0d^{2}=0 和 (1.37),我们计算得

dα=dιX(dμ)=(dιX+ιXd)(dμ)=LX(dμ)=div(X)dμd \alpha = d \circ \iota_{X}(d \mu) = \left(d \circ \iota_{X} + \iota_{X} \circ d\right)(d \mu) = \mathcal{L}_{X}(d \mu) = \operatorname{div}(X) d \mu

为得到最后一个等式,我们可以在正交规范框架 e1,,ene_{1}, \ldots, e_{n} 下进行计算:

LX(dμ)(e1,,en)=i=1ndμ(e1,,eiX,,en)=div(X)dμ(e1,,en)\begin{aligned} \mathcal{L}_{X}(d \mu)\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) & = \sum_{i=1}^{n} d \mu\left(e_{1}, \ldots, \nabla_{e_{i}} X, \ldots, e_{n}\right) \\ & = \operatorname{div}(X) d \mu\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) \end{aligned}

现在,斯托克斯定理意味着

Mdiv(X)dμ=Mdα=Mα=MιX(dμ)=MX,νdσ.\int_{M} \operatorname{div}(X) d \mu = \int_{M} d \alpha = \int_{\partial M} \alpha = \int_{\partial M} \iota_{X}(d \mu) = \int_{\partial M} \langle X, \nu \rangle d \sigma .

为了验证最后一个等式,我们用到了

(ιX(dμ))(e2,,en)=n(dμ)(X,e2,,en)=nX,ν(dμ)(e1,e2,,en)=1(n1)!X,ν\begin{aligned} \left(\iota_{X}(d \mu)\right)\left(e_{2}, \ldots, e_{n}\right) & = n(d \mu)\left(X, e_{2}, \ldots, e_{n}\right) \\ & = n \langle X, \nu \rangle (d \mu)\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right) \\ & = \frac{1}{(n-1)!} \langle X, \nu \rangle \end{aligned}

因此,定理得证。

练习 1.48(分部积分)。推导出散度定理的以下结论。 (1) 在闭合流形上,MnΔudμ=0\int_{M^{n}} \Delta u d \mu = 0。 (2) (格林)在紧致流形上,

Mn(uΔvvΔu)dμ=Mn(uvνvuν)dσ\int_{M^{n}} (u \Delta v - v \Delta u) d \mu = \int_{\partial M^{n}} \left(u \frac{\partial v}{\partial \nu} - v \frac{\partial u}{\partial \nu}\right) d \sigma

特别地,在闭合流形上

MnuΔvdμ=MnvΔudμ\int_{M^{n}} u \Delta v d \mu = \int_{M^{n}} v \Delta u d \mu

(3) 证明如果 ff 是一个函数且 XX 是一个 1-形式,则

Mnfdiv(X)dμ=Mnf,Xdμ+MnfX,νdσ.\int_{M^{n}} f \operatorname{div}(X) d \mu = -\int_{M^{n}} \langle \nabla f, X \rangle d \mu + \int_{\partial M^{n}} f \langle X, \nu \rangle d \sigma .

推论 1.49(Mn,g)\left(M^{n}, g\right) 是一个闭合黎曼流形。如果 α\alpha 是一个 (r,s)(r, s)-张量,且 β\beta 是一个 (r1,s)(r-1, s)-张量,则

Mα,βdV=Mdiv(α),βdV\int_{M} \langle \alpha, \nabla \beta \rangle d V = -\int_{M} \langle \operatorname{div}(\alpha), \beta \rangle d V

证明。设 Xj=αji2irk1ksβi2irk1ksX_{j} = \alpha_{j i_{2} \cdots i_{r}}^{k_{1} \cdots k_{s}} \beta_{i_{2} \cdots i_{r}}^{k_{1} \cdots k_{s}}。我们计算得

divX=div(α),β+α,β\operatorname{div} X = \langle \operatorname{div}(\alpha), \beta \rangle + \langle \alpha, \nabla \beta \rangle

因此结果从散度定理中得出。分部积分在推导积分Bochner公式中有用。以下的基本代数事实在推导Bochner公式类型的逐点和积分不等式中是有用的。

练习 1.50(2-张量的范数主导迹)。通过选择坐标,使得某点的 gij=δijg_{i j}=\delta_{i j},证明对于任何 2-张量 aija_{i j}

aijg21n(gijaij)2\left|a_{i j}\right|_{g}^{2} \geq \frac{1}{n} \left(g^{i j} a_{i j}\right)^{2}

更一般地,对于一个 pp-张量(p2p \geq 2

ak1kp21ngijaijk3kp2\left|a_{k_{1} \cdots k_{p}}\right|^{2} \geq \frac{1}{n} \left|g^{i j} a_{i j k_{3} \cdots k_{p}}\right|^{2}

以下是这样一个应用的一个很好的例子。

练习 1.51 证明在闭合流形上(使用练习 1.37)

Mnf2dμ+MnRc(f,f)dμ=Mn(Δf)2dμ\begin{equation*} \int_{M^{n}} |\nabla \nabla f|^{2} d \mu + \int_{M^{n}} \operatorname{Rc}(\nabla f, \nabla f) d \mu = \int_{M^{n}} (\Delta f)^{2} d \mu \tag{1.53} \end{equation*}

由于 f21n(Δf)2|\nabla \nabla f|^{2} \geq \frac{1}{n} (\Delta f)^{2},这意味着

MnRc(f,f)dμn1nMn(Δf)2dμ\begin{equation*} \int_{M^{n}} \operatorname{Rc}(\nabla f, \nabla f) d \mu \leq \frac{n-1}{n} \int_{M^{n}} (\Delta f)^{2} d \mu \tag{1.54} \end{equation*}

有了这个不等式,我们可以证明以下经典结果。

练习 1.52(Lichnerowicz)。假设 ff 是拉普拉斯算子的特征函数,特征值为 λ0\lambda 0

Δf+λf=0\Delta f + \lambda f = 0

利用 (1.54) 证明如果 Rc(n1)K\mathrm{Rc} \geq (n-1) K,其中 K0K 0 是常数,则

λnK\begin{equation*} \lambda \geq n K \tag{1.55} \end{equation*}

有关特征函数和特征值的更多信息,请参见附录 A 第 5 节。

5.2. De Rham定理与Hodge分解定理。#

现在我们回顾 de Rham 定理和 Hodge 分解定理。设 MnM^{n} 是一个闭合流形。外导数 dd 形成一个复

0Ω0(Mn)dΩ1(Mn)ddΩn1(Mn)dΩn(Mn)0,0 \rightarrow \Omega^{0}\left(M^{n}\right) \xrightarrow{d} \Omega^{1}\left(M^{n}\right) \xrightarrow{d} \cdots \xrightarrow{d} \Omega^{n-1}\left(M^{n}\right) \xrightarrow{d} \Omega^{n}\left(M^{n}\right) \rightarrow 0,

其中 d2dd=0d^{2} \doteqdot d \circ d = 0。因此 image(d)ker(d)\operatorname{image}(d) \subset \operatorname{ker}(d),我们可以定义第 pp 个 de Rham 上同调群:

HdeRp(M)ker(dΩp(M))image(dΩp1(M))H_{\mathrm{deR}}^{p}(M) \doteqdot \frac{\operatorname{ker}\left(\left.d\right|_{\Omega^{p}(M)}\right)}{\operatorname{image}\left(\left.d\right|_{\Omega^{p-1}(M)}\right)}

我们有:

定理 1.53(De Rham)。如果 MnM^{n} 是一个闭合流形,则第 pp 个 de Rham 上同调群同构于第 pp 个奇异实上同调群:

HdeRp(M)Hp(M;R)H_{\mathrm{deR}}^{p}(M) \cong H^{p}(M ; \mathbb{R})

与 de Rham 上同调群紧密相关的是调和形式。一个微分形式 α\alpha 被称为调和的,如果

Δdα=0\Delta_{d} \alpha = 0

由于

MΔdα,αdμ=M(dα2+δα2)dμ\int_{M} \left\langle \Delta_{d} \alpha, \alpha \right\rangle d \mu = -\int_{M} \left(|d \alpha|^{2} + |\delta \alpha|^{2}\right) d \mu

因此 α\alpha 是调和的当且仅当

dα=0 和 δα=0d \alpha = 0 \text{ 和 } \delta \alpha = 0

调和 pp-形式的空间记作

Hp={αΩp(M):Δdα=0}.H^{p} = \left\{\alpha \in \Omega^{p}(M): \Delta_{d} \alpha = 0\right\}.

Hodge 定理的本质是理解在给定 γΩp(M)\gamma \in \Omega^{p}(M) 的情况下,方程

Δdα=γ\Delta_{d} \alpha = \gamma

是否有解 αΩp(M)\alpha \in \Omega^{p}(M)。如果 βHp\beta \in H^{p} 是一个调和的 pp-形式,则

(γ,β)=(Δdα,β)=(α,Δdβ)=0(\gamma, \beta) = \left(\Delta_{d} \alpha, \beta\right) = \left(\alpha, \Delta_{d} \beta\right) = 0

因此,解 Δdα=γ\Delta_{d} \alpha = \gamma 的必要条件是对所有 βHp\beta \in H^{p}(γ,β)=0(\gamma, \beta) = 0。这个条件也是充分的。特别地,我们有以下称为 Hodge 分解定理的结果。

定理 1.54(Hodge)。设 (Mn,g)\left(M^{n}, g\right) 是一个闭合黎曼流形。给定 γΩp(M)\gamma \in \Omega^{p}(M),方程

Δdα=γ\Delta_{d} \alpha = \gamma

有解 αΩp(M)\alpha \in \Omega^{p}(M) 当且仅当

(γ,β)=0(\gamma, \beta) = 0

对所有 βHp\beta \in H^{p}。因此,我们有 pp-形式空间的以下分解:

Ωp(M)=Δd(Ωp(M))Hp=dδ(Ωp(M))δd(Ωp(M))Hp\begin{aligned} \Omega^{p}(M) & = \Delta_{d}\left(\Omega^{p}(M)\right) \oplus H^{p} \\ & = d \delta \left(\Omega^{p}(M)\right) \oplus \delta d \left(\Omega^{p}(M)\right) \oplus H^{p} \end{aligned}

此外,空间 HpH^{p} 是有限维的。

关于 de Rham 上同调群,我们有以下结论。

推论 1.55 在每个 de Rham 上同调类中,有一个唯一的调和形式表示该同调类。特别地,第 pp 个 de Rham 上同调群同构于调和 pp-形式的空间 HpH^{p}

Hodge 定理的另一个有用结果是:

推论 1.56 如果 (Mn,g)\left(M^{n}, g\right) 是一个闭合黎曼流形,并且 ff 是一个光滑函数,满足 Mfdμ=0\int_{M} f d \mu = 0,那么存在一个光滑函数 u:MRu: M \rightarrow \mathbb{R} 使得 Δu=f\Delta u = f。函数 uu 唯一确定,除了一个加法常数。

证明。由于 MnM^{n} 是闭合的,H0H^{0} 是常数函数的子空间。它的正交补是满足 Mfdμ=0\int_{M} f d \mu = 0 的函数的子空间。因此,根据 Hodge 定理,如果 Mfdμ=0\int_{M} f d \mu = 0,则存在 uu 使得 Δu=f\Delta u = f。唯一性也从方程 Δu=0\Delta u = 0 只有常数解这一事实中得到。

Hodge 拉普拉斯算子的一个重要属性是它与星号算子交换:

Δd=Δd\Delta_{d^{*}} = * \Delta_{d}

因此,如果 αHp\alpha \in H^{p} 是一个调和的 pp-形式,则 α* \alpha 是一个调和的 (np)(n-p)-形式,即

:HpHnp*: H^{p} \rightarrow H^{n-p}

是一个同构。因此,推论 1.55 意味着

HdeRp(M)HdeRnp(M)H_{\mathrm{deR}}^{p}(M) \cong H_{\mathrm{deR}}^{n-p}(M)

这被称为 de Rham 上同调的 Poincaré 对偶性定理(而 de Rham 定理也意味着这对于奇异实上同调是成立的)。