QTSM 数学笔记 🧮
8. 弧长、能量和面积的变分

8. 弧长、能量和面积的变分

Fri Jul 12 2024
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RiemannGeometry math
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在黎曼几何中，测地线和最小子流形可以用于研究流形的几何和拓扑。在这一节中，我们研究路径和子流形的长度、能量和面积函数。我们回顾这些泛函的第一和第二变化公式。

8.1. 弧长的第一变分。#

给定路径 γ:[a,b]→Mn\gamma:[a, b] \rightarrow M^{n}，其长度定义为

L(γ)≑∫ab∣γ˙(u)∣du\mathrm{L}(\gamma) \doteqdot \int_{a}^{b}|\dot{\gamma}(u)| d u

距离函数定义为

dp(x)≑d(x,p)≑inf⁡γL(γ)d_{p}(x) \doteqdot d(x, p) \doteqdot \inf _{\gamma} \mathrm{L}(\gamma)

其中的下确界是对所有路径 γ:[0,1]→Mn\gamma:[0,1] \rightarrow M^{n}，满足 γ(0)=p\gamma(0)=p 和 γ(1)=x\gamma(1)=x 取的。一个测地线段是最小的，如果其长度等于两个端点之间的距离。

我们回顾弧长的第一和第二变化公式。设 γr:[a,b]→Mn,r∈J⊂R\gamma_{r}:[a, b] \rightarrow M^{n}, r \in \mathcal{J} \subset \mathbb{R}，为一族1-参数路径。从中我们可以定义映射 Γ:[a,b]×J→Mn\Gamma:[a, b] \times \mathcal{J} \rightarrow M^{n} 为

Γ(s,r)≑γr(s)\Gamma(s, r) \doteqdot \gamma_{r}(s)

我们通过 R≑Γ∗(∂/∂r)R \doteqdot \Gamma_{*}(\partial / \partial r) 和 S≑Γ∗(∂/∂s)S \doteqdot \Gamma_{*}(\partial / \partial s) 定义沿 γr\gamma_{r} 的向量场 RR 和 SS。我们称 RR 为变化向量场，SS 为切向量场。路径 γr\gamma_{r} 的长度由以下公式给出：

L(γr)≑∫ab∣S(γr(s))∣ds\mathrm{L}\left(\gamma_{r}\right) \doteqdot \int_{a}^{b}\left|S\left(\gamma_{r}(s)\right)\right| d s

假设 0∈J0 \in \mathcal{J}。弧长的第一变化公式为\ 引理 1.81（弧长的第一变化）。如果 γ0\gamma_{0} 由弧长参数化，即 ∣S(γ0(s))∣≡1\left|S\left(\gamma_{0}(s)\right)\right| \equiv 1，则有

ddr∣r=0 L(γr)=−∫ab⟨R,∇SS⟩ds+⟨R,S⟩∣ab\begin{equation*} \left.\frac{d}{d r}\right|_{r=0} \mathrm{~L}\left(\gamma_{r}\right)=-\int_{a}^{b}\left\langle R, \nabla_{S} S\right\rangle d s+\left.\langle R, S\rangle\right|_{a} ^{b} \tag{1.94} \end{equation*}

证明。我们计算

ddr L(γr)=12∫ab∣S∣−1R⟨S,S⟩ds=∫ab∣S∣−1⟨S,∇RS⟩ds=∫ab⟨S/∣S∣,∇SR⟩ds\begin{align} \frac{d}{d r} \mathrm{~L}\left(\gamma_r\right) & =\frac{1}{2} \int_a^b|S|^{-1} R\langle S, S\rangle d s=\int_a^b|S|^{-1}\left\langle S, \nabla_R S\right\rangle d s \\ & =\int_a^b\langle S /| S\left|, \nabla_S R\right\rangle d s \tag{1.95} \end{align}

使用 ∇RS−∇SR=[R,S]=Γ∗([∂/∂r,∂/∂s])=0\nabla_R S-\nabla_S R=[R, S]=\Gamma_*([\partial / \partial r, \partial / \partial s])=0. 以及 ∣S∣≡1|S| \equiv 1 部分积分法给出了所需公式。

推论 1.82。如果 γr:[0,b]→Mn,r∈J⊂R\gamma_{r}:[0, b] \rightarrow M^{n}, r \in \mathcal{J} \subset \mathbb{R}，是一族从固定点 p∈Mnp \in M^{n} 发出的1-参数路径（即 γr(0)=p\gamma_{r}(0)=p），且 γ0\gamma_{0} 是由弧长参数化的测地线，则有

ddr∣r=0 L(γr)=⟨∂∂r∣r=0γr(b),∂γ0∂s(b)⟩\begin{equation*} \left.\frac{d}{d r}\right|_{r=0} \mathrm{~L}\left(\gamma_{r}\right)=\left\langle\left.\frac{\partial}{\partial r}\right|_{r=0} \gamma_{r}(b), \frac{\partial \gamma_{0}}{\partial s}(b)\right\rangle \tag{1.96} \end{equation*}

备注 1.83。如果我们不假设 γ0\gamma_{0} 是由弧长参数化的，则我们有

ddr∣r=0 L(γr)=−∫ab⟨R,∇S(S∣S∣)⟩ds+⟨R,S∣S∣⟩∣ab\left.\frac{d}{d r}\right|_{r=0} \mathrm{~L}\left(\gamma_{r}\right)=-\int_{a}^{b}\left\langle R, \nabla_{S}\left(\frac{S}{|S|}\right)\right\rangle d s+\left.\left\langle R, \frac{S}{|S|}\right\rangle\right|_{a} ^{b}

因此，在所有固定两个端点的路径中，长度泛函的临界点是满足

∇γ˙(γ˙∣γ˙∣)=0\nabla_{\dot{\gamma}}\left(\frac{\dot{\gamma}}{|\dot{\gamma}|}\right)=0

的测地线 γ\gamma。

8.2. 弧长的第二变化#

现在假设我们有一族2-参数路径 γq,r:[a,b]→Mn,q∈I⊂R\gamma_{q, r}:[a, b] \rightarrow M^{n}, q \in \mathcal{I} \subset \mathbb{R} 和 r∈J⊂Rr \in \mathcal{J} \subset \mathbb{R}。定义 Φ:[a,b]×I×J→Mn\Phi:[a, b] \times \mathcal{I} \times \mathcal{J} \rightarrow M^{n} 为

Φ(s,q,r)≑γq,r(s)\Phi(s, q, r) \doteqdot \gamma_{q, r}(s)

并且 Q≑Φ∗(∂/∂q),R≑Φ∗(∂/∂r)Q \doteqdot \Phi_{*}(\partial / \partial q), R \doteqdot \Phi_{*}(\partial / \partial r) 和 S≑Φ∗(∂/∂s)S \doteqdot \Phi_{*}(\partial / \partial s)。弧长的第二变化公式为

引理 1.84（弧长的第二变化）。假设 0∈I0 \in \mathcal{I} 且 0∈J0 \in \mathcal{J}。如果 γ0,0\gamma_{0,0} 是由弧长参数化的，则有

∂2∂q∂r∣(q,r)=(0,0)L(γq,r)=∫ab(⟨∇SQ,∇SR⟩−⟨∇SQ,S⟩⟨∇SR,S⟩−⟨Rm⁡(Q,S)S,R⟩)ds−∫ab⟨∇QR,∇SS⟩ds+⟨∇QR,S⟩∣ab.\begin{align*} & \left.\frac{\partial^{2}}{\partial q \partial r}\right|_{(q, r)=(0,0)} \mathrm{L}\left(\gamma_{q, r}\right) \tag{1.97}\\ & =\int_{a}^{b}\left(\left\langle\nabla_{S} Q, \nabla_{S} R\right\rangle-\left\langle\nabla_{S} Q, S\right\rangle\left\langle\nabla_{S} R, S\right\rangle-\langle\operatorname{Rm}(Q, S) S, R\rangle\right) d s \\ & -\int_{a}^{b}\left\langle\nabla_{Q} R, \nabla_{S} S\right\rangle d s+\left.\left\langle\nabla_{Q} R, S\right\rangle\right|_{a} ^{b} . \end{align*}

证明。对（1.95）进行微分，我们计算得到

∂2∂q∂r∣(q,r)=(0,0)L(γq,r)=∂∂q∣(q,r)=(0,0)∫ab⟨S/∣S∣,∇SR⟩ds=∫abQ⟨S/∣S∣,∇SR⟩ds=∫ab(⟨S/∣S∣,∇Q∇SR⟩+⟨∇Q(S/∣S∣),∇SR⟩)ds=∫ab(⟨Rm⁡(Q,S)R,S/∣S∣⟩+⟨S/∣S∣,∇S∇QR⟩)ds+∫ab∣S∣−1⟨∇QS,∇SR⟩ds−∫ab∣S∣−3⟨∇QS,S⟩⟨S,∇SR⟩ds\begin{align} & \left.\frac{\partial^{2}}{\partial q \partial r}\right|_{(q, r)=(0,0)} \mathrm{L}\left(\gamma_{q, r}\right) \\ & =\left.\frac{\partial}{\partial q}\right|_{(q, r)=(0,0)} \int_{a}^{b}\left\langle S /|S|, \nabla_{S} R\right\rangle d s=\int_{a}^{b} Q\left\langle S /|S|, \nabla_{S} R\right\rangle d s \\ & =\int_{a}^{b}\left(\left\langle S /|S|, \nabla_{Q} \nabla_{S} R\right\rangle+\left\langle\nabla_{Q}(S /|S|), \nabla_{S} R\right\rangle\right) d s \\ & =\int_{a}^{b}\left(\langle\operatorname{Rm}(Q, S) R, S /|S|\rangle+\left\langle S /|S|, \nabla_{S} \nabla_{Q} R\right\rangle\right) d s \\ & +\int_{a}^{b}|S|^{-1}\left\langle\nabla_{Q} S, \nabla_{S} R\right\rangle d s-\int_{a}^{b}|S|^{-3}\left\langle\nabla_{Q} S, S\right\rangle\left\langle S, \nabla_{S} R\right\rangle d s \end{align}